【AtCoder】ABC 355 D - Intersecting Intervals | 茶コーダーが解くAtCoder - Yuulis.log

問題概要

個の実数の区間が与えられ、 番目の区間は閉区間である。 番目と 番目の区間が共通部分を持つような組 の個数を求めよ。

制約

• 入力はすべて整数。

考察

とりあえず図を書いて考えてみる。

区間について見てみると、この区間上には区間の始点 が存在する。したがって、区間と共通部分を持つのは区間である。

続いて区間について見てみると、この区間上には区間の始点 が存在する。したがって、区間と共通部分を持つのは区間である。

さらに区間について見てみると、この区間上には区間の始点 が存在する。したがって、区間と共通部分を持つのは区間である。

これを一般化して考えてみよう。「区間について、閉区間上に区間の始点 が存在するとき、区間は区間と共通部分を持つ」と言える。

この考え方をアルゴリズムに落とし込む。

1. 個の区間の始点と終点をペアとしたデータを格納した配列 (ends) と、始点のみを格納した配列 (left_pos) を用意する。なお、両者は昇順ソートされているものとする。
2. endsを先頭から見ていく。
   1. left_posの要素の中で、区間の終点 より大きい値が現れるインデックスを とする。
   2. 区間と共通部分を持つ区間の数は、 で求められる (上図で確認してみよう) 。

なお、手順2-1で を求めるには、二分探索 (upper_bound) を使うことで高速に求められる。

コード

#include <bits/stdc++.h>usingnamespacestd;

#define all(x) (x).begin(), (x).end()#define rep(i, start, end) for (auto i = (start); (i) < (end); (i)++)using ll = longlong;
using Pair_ll = pair<ll, ll>;

// ======================================== //intmain()
{
    int N;
    cin>> N;
    vector<Pair_ll> ends(N);
    vector<ll> left_pos;
    rep(i, 0, N)
    {
        ll l, r;
        cin>> l >> r;
        ends[i] = make_pair(l, r);
        left_pos.push_back(l);
    }

    sort(all(ends));
    sort(all(left_pos));

    ll ans = 0;
    rep(i, 0, N)
    {
        ans += (upper_bound(all(left_pos), ends[i].second) - left_pos.begin()) - i - 1;
    }

    cout<< ans << endl;
}

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実装時間: 40分